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Análisis Matemático 66
2025
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
10.
Sea $a_{n}=\sqrt{9 n^{2}+b n}-3 n$.
a) Encuentre todos los $b \in \mathbb{R}$ para los cuales $0<\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}<1$
a) Encuentre todos los $b \in \mathbb{R}$ para los cuales $0<\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}<1$
Respuesta
Para encontrar los valores de \( b \) que cumplen la condición \( 0 < \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} < 1 \), a no desesperar. Te propongo que el plan sea, primero calculamos el límite \( \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} \), y después le pedimos al resultado que esté entre $0$ y $1$, dale?
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$ \lim _{n \rightarrow \infty} (\sqrt{9n^2 + bn} - 3n) $
Infinito menos infinito, multiplicamos y dividimos por el conjugado, blabla...
$ \lim _{n \rightarrow \infty} \left( \sqrt{9n^2 + bn} - 3n \right) \cdot \frac{\sqrt{9n^2 + bn} + 3n}{\sqrt{9n^2 + bn} + 3n} $
$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(9n^2 + bn) - (3n)^2}{\sqrt{9n^2 + bn} + 3n} $
$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{9n^2 + bn - 9n^2}{\sqrt{9n^2 + bn} + 3n} $
$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{bn}{\sqrt{9n^2 + bn} + 3n} $
$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{b}{\sqrt{9 + \frac{b}{n}} + 3} = \frac{b}{\sqrt{9} + 3} = \frac{b}{6}$
Ahora queremos que \( 0 < \frac{b}{6} < 1 \). Bueno, despejamos, pasamos el $6$ multiplicando y nos queda...
$ 0 < b < 6 $
Entonces, para que se cumpla la condición del enunciado, \( b \) debe estar en el intervalo \( (0, 6) \).
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